Pedagogisk entreprenørskap i matematikkfaget

Pedagogisk entreprenørskap er et nytt begrep i skolen. Samtidig er problemløsning allerede en godt kjent og etablert del av matematikkfaget. Et forsøk med å la lærerstudenter løse konkrete oppgaver gjennom samarbeid viser at problemløsning som arbeidsform i matematikkfaget kan fremme og skjerpe de egenskaper som kjennetegner pedagogisk entreprenørskap. Det taler for å legge mer vekt på problemløsning i matematikk.

Entreprenørskap har i de siste årene blitt en naturlig del av grunnskolens pedagogiske tilrettelegging, og det ligger nå en forventning om at lærerstudentene i løpet av utdannelsen skal bli gjort kjent med entreprenørskap. I lærerutdanningen er begrepet pedagogisk entreprenørskap lansert, for å signalisere at entreprenørskap rommer noe mer enn etablering av elevbedrifter. Pedagogisk entreprenørskap assosieres gjerne med egenskaper som samarbeid, kreativitet, nytenking, risikovilje og evne til å ta initiativ (Kunnskapsdepartementet m.fl., 2009). De samme egenskapene finner vi også igjen i problemløsning, for eksempel i matematikkfaget. Hvordan kan problemløsning i matematikk sees i sammenheng med pedagogisk entreprenørskap? spurte vi, og presenterte to problemer til to grupper av lærerstudenter og filmet deres vei mot løsning av problemene. I etterkant så vi filmene sammen med studentene og fikk deres utdypende kommentarer på prosessen de gikk gjennom.

Problemløsning som metode i matematikk

Problemløsning er en sentral del av matematikkfaget. Et problem forstås i matematikken som en utfordring som en ikke umiddelbart har en strategi eller metode for å løse. Ungareren George Pólya presenterte alt i 1945 fire faser i en matematisk problemløsningssituasjon, og dette mønsteret har senere mer eller mindre dannet skole for teori om problemløsning i matematikkfaget (Pólya, 1990). De ulike fasene beskrives slik:

1. Forstå problemet (Hva er den/det ukjente? Hva er forutsetningene? Hva slags informasjon har du?)

2. Legg en plan (Har du sett dette før? Kan du løse hele, eller deler av problemet? Legg en strategi for å løse problemet.)

3. Gjennomfør planen du har lagt (Sjekk gjennomføringen av trinnene du går gjennom i denne prosessen.)

4. Se tilbake/lær av det du har gjort (Kan du sjekke resultatet? Kan du generalisere det? Kan du nå se løsningen med en gang?)

Problemløsning i matematikk handler altså om å søke etter handlinger som fører til en løsning av et problem. I praksis innebærer dette å relatere problemet til noe kjent og så utvikle ny kunnskap basert på denne løsningen. Etter at problemet er løst, ser man tilbake på det man har gjort med ønske om å kunne løse alle slike typer problem på samme måte.

Beskrivelse av opplegget

De to studentgruppene besto av fire studenter hver som kjente hverandre fra før gjennom lærerutdanningsstudiet. Vi ba dem kort og greit om å løse oppgavene de ble presentert for i fellesskap.
Den første oppgaven var en åpen oppgave der man på papir ser en formasjon av kuber fra to sider, syd og øst, hentet fra Damsgaard (1999).

 

Studentene skulle svare på hvor mange kuber som henholdsvis maksimalt og minimalt kunne brukes til å lage formasjonen. Til arbeidet hadde de tilgang på penner og papir, linjal og saks. Den andre oppgaven gikk ut på at studentene skulle sette sammen seks klosser til én formasjon (Se problemoppgave 2). Oppgavene var å anse som fullførte når studentgruppene sa seg fornøyd med resultatet, men vi satte en begrensning på 10–12 minutter til hver oppgave. Det viste seg nødvendig, særlig på oppgaven hvor gruppene skulle sette sammen
klossene til en formasjon.

Studentgruppene ble filmet (lyd og bilde) mens de gjennomførte arbeidet med problemoppgavene. Noen dager etter opptakene så vi gjennom opptakene sammen med studentene. Dette gjorde vi med begge gruppene, det vil si fire opptak i alt. Studentene kommenterte fritt det de så og hørte på filmopptakene og svarte på våre forberedte spørsmål. Gjennomgangen av filmopptakene ble tatt opp på diktafon.

Pólyas fire faser for problemløsning handler både om innholdet i fasene og om overgangen mellom dem. Med utgangspunkt i de fire fasene beskriver vi kort hva som kjennetegnet studentenes arbeid med de to oppgavene, og hvordan gruppene beveger seg mellom de ulike fasene.

Problemoppgave 1 (Formasjon av kuber)

Gruppe 1:

Innledningsvis viser en av deltakerne til skissene som en «isometrisk tegning». Dette forslaget får ikke gjennomslagskraft, og en annen deltaker går direkte til gjennomføring av en plan han ikke har diskutert med de andre. I samtalene etterpå kom det frem at de andre var usikre på hva en «isometrisk tegning» var og derfor tok i bruk andre metoder for å forstå problemet og legge en plan. Gruppen har ikke samme forståelse av problemet, og klarer derfor ikke å samarbeide. Under gjennomgangen av film uttaler en av deltakerne:
Jeg mener at jeg ennå er i fasen hvor jeg skal forstå problemet, mens NN (annen deltaker) allerede er i ferd med å lage en plan.

Under planleggingen mener to av deltakerne at en kloss teoretisk sett kan henge i luften, og forsøker å løse oppgaven med det som utgangspunkt. De lager så en skisse av formasjonen sett ovenfra. De resterende to er ikke aktive i gjennomføringene, men følger med. I etterkant sier en av dem:

Jeg var ikke sikker selv, så jeg stolte på hans løsning. Jeg hadde ingen andre meninger


Gruppe 2:

Denne gruppen bruker relativt lang tid på fase 1. Flere gruppemedlemmer tegner, «for å forsikre
seg om at de har forstått problemet», som de sier i kommentarene når filmopptaket blir sett. Gruppa samarbeider om å forstå problemet og legger en plan for hvordan de skal gå frem. Gruppen tegner varianter av løsninger ut fra tegningene i oppgaven. To av gruppemedlemmene kommer raskt frem til et svar de mener er riktig, men en innvending fra et annet medlem gjør at gruppa går over til å se tilbake på det som er gjort, og de avdekker selv hull i forståelsen av problemet. Dette fører til ny analyse og ny strategi i form av en skissetegning sett fra siden. Hvorvidt en kloss kan henge i lufta eller ikke blir kort nevnt, men påvirket ikke den videre planleggingen. Etter ny utprøving returnerer gruppa nok en gang til fase 2 hvor de forsøker å tenke over problemet på nytt, uten å komme videre derfra før tiden er omme.

Problemoppgave 2
(Sette sammen formasjon av klosser)

Gruppe 1:
Deltakerne begynner med å ta på klossene, og se hvordan de passer sammen. I denne fasen har ikke studentene sett den ferdige formasjonen av klosser, men under gjennomgangen av filmopptaket kommer det fram at alle trodde det var en kube som skulle bli resultatet. Etter at mange gjettinger og sjekking av strategier som ikke førte fram, gikk gruppa etter hvert tilbake til fase 2, og så til fase 3 igjen. Brått foreslår en av deltakerne at resultatet ikke skal bli en kube. Gruppa går helt tilbake til fase 1, og diskuterer om
det kan være en kube eller ikke. De bestemmer seg for at det ikke skal bli en kube. De oppdager et mønster mellom mørke og lyse felt, og legger en ny plan. De har nå en ny felles forståelse av hva resultatet skal bli, men klarer likevel ikke å løse problemet før tiden er omme.

Gruppe 2
Gruppen spekulerer innledningsvis rundt formen de skal frem til. De prøver å legge en plan, og en av deltakerne spør de andre «Skal vi finne bunnen eller ett av hjørnene?». Etter hvert blir det lite dialog, og heller mange hender med en kloss hver. En i gruppa foreslår at «dette er en oppgave som er lettere å løse alene» og gruppa ser ut til å inkludere innspillet i den videre strategien. Kommunikasjonen og samarbeidet om å gjennomføre en plan settes på vent, da et av medlemmene ser ut til å ha en klar strategi for hvordan oppgaven kan løses. Medlemmet holder samtlige klosser i hendene i over to minutter, uten at noen strategi kommuniseres til de andre på gruppa. I forbindelse med gjennomgang av filmopptakene i ettertid mener gruppen at det kan være en felles strategi å la en person bygge formasjonen. Gruppa klarer ikke å løse oppgaven før tida er omme.

Problemløsning og pedagogisk entreprenørskap

I de fire eksemplene så vi hvordan studentene gikk mellom de fire fasene i Pólyas beskrivelse av problemløsning, og hvor lite effektivt det var å hoppe over en fase. Studentene forsøkte innledningsvis å forstå oppgavene gjennom å analysere problemene og ta initiativ til å lage en plan. Vi erfarte også hvor sårbar prosessen er om tanker ikke kommuniseres. Da kunne medlemmene i gruppene befinne seg i ulike faser. Gjennom å legge en plan for løsning trengs det initiativ, kreativitet, nytenking og risikovilje, slik vi så eksempler på da den ene gruppen tegnet en skisse av klossene sett ovenfra. Når planen er lagt, skal den prøves ut, og i denne fasen kreves det vilje til å ta sjanser og stole på planen. Slik risikovilje så vi også eksempler på selv om gruppene ikke hadde lagt en felles plan. Vi så også eksempler på at planer som var lagt i fellesskap, ikke førte frem og at en måtte gå tilbake til fase 1 eller fase 2 for å justere planen. Når planen førte frem til et svar alle kunne enes om, så vi at gruppene så tilbake, oppsummerte prosessen og reflekterte over gyldigheten til resultatet. Disse kjennetegnene på studentenes arbeid med problemoppgavene har vi sammenstilt med innholdet i Pólyas fire faser i tabellen under, men kjennetegnene må ikke oppfattes å være strengt tilordnet en bestemt fase:

Problemløsning etter Polya Kjennetegn på studentenes arbeid
Forstå problemet Analyse/initiativ
Legg en plan Initiativ/kreativitet/Nytenkning/Risikovilje
Gjennomfør planen du har lagd Risikovilje
Se tilbake og lære av det du har gjort Refleksjon

Det som kjennetegner studentenes arbeid i de ulike problemløsningsfasene, har altså klare likhetstrekk med kjennetegnene på pedagogisk entreprenørskap.


Pedagogisk entreprenørskap i skolens matematikkfag

Entreprenørskap fremstår i ulike sammenhenger som et eget fag, et tverrfaglig tema eller en arbeidsform. Vi mener også det er naturlig å skille mellom direkte tiltak for entreprenørskap, som for eksempel de mange elevbedrifter kan være eksempler på, og tiltak for å utvikle kvaliteter og egenskaper som er viktige for utøvelsen av pedagogisk entreprenørskap (initiativ, kreativitet, risikovilje, samarbeid osv.). Vårt utgangspunkt er at problemløsning i matematikk fremmer mange av de egenskapene som pedagogisk entreprenørskap er tuftet på. Vi identifiserte at studentene i de ulike fasene måtte vise initiativ, kreativitet, risikovilje og samarbeidsevne om de skulle lykkes. I tillegg måtte de evne å ta lærdom av resultat de kom fram til.

Pedagogisk entreprenørskap er høyaktuelt i lærerutdanningen, og det er naturlig å spørre hvordan forholdet mellom entreprenørskap og de enkelte fagene skal fortone seg. Slik vi vurderer det, kan problemløsning som arbeidsform i matematikkfaget fremme og skjerpe de egenskaper som kjennetegner pedagogisk entreprenørskap. Det taler for å legge mer vekt på problemløsning i matematikk også ut fra grunner utenfor selve faget.

 

Forfatterbilde

Eirik S. Jenssen

Eirik S. Jenssen er førsteamanuensis (PhD) ved Høgskolen i Sogn og Fjor- dane. Han har bakgrunn som lærer og øvingslærer i grunnskolen. Han arbeider med profesjonsfaglige problemstillinger knyttet til utdanningen av grunnskolelærere. De siste årene har hans forsknings- og undervisningsområde vært knyttet til lærerrollen, rektorrollen, læring og tilpasset opplæring.

Forfatterbilde

Frode Olav Haara

Frode Olav Haara, Phd, førsteamanuensis i matematikkdidaktikk, og arbeider ved avdeling for lærerutdanning og idrett ved Høgskulen i Sogn og Fjordane. Hans doktorgrad er knyttet til læreres valg av praktiske aktiviteter i matematikkundervisning

Litteraturhenvisninger

Damsgaard, K. (1999). Læring av matematikk i sosiale sammenhenger. Masteroppgave. Høgskolen i Agder Kunnnskapsdepartementer.

Kommunal- og regionaldepartementet, og Nærings- og handelsdepartementet (2009). Entreprenørskap i utdanningen – fra grunnskole til høyere utdanning 2009–2014. Handlingsplan.

 

Pólya, G. (1990). How to Solve it?, 3. utgave. London: Penguin.

 

Foreslåtte artikler