Samarbeid for bedre læring i matematikk

En onsdag omkring kl. 12 er lærere fra grunnskole og videregående skole og førskolelærere alle på veg mot samme auditorium ved Universitetet i Agder. Det er verksted i prosjektet Lær bedre matematikk. Etter en rask kopp kaffe, te eller juice like utenfor auditoriet er det samling i plenum.

Første post på programmet er presentasjon fra en videregående skole der matematikklærerne i stor grad har tatt i bruk datamaskiner i matematikkundervisningen. Læreren forteller at når de startet med bruk av PC, hadde de en del prøving og feiling, som han sa: «feiling var å bruke noe ferdig fra Internett». Det ble bedre da elevene måtte gjøre noe selv og begynte med å skrive mye på PC og la vekk papir og blyant. Han demonstrer videre hvordan de kunne eksperimentere med størrelsen på parametrene a, b og c når de tegnet grafer for f (x)=ax2 +bx + c og se hvordan grafen varierte. I et annet eksempel han viste, brukes dynamisk geometri (Cabri) for å undersøke og eksperimentere med sammenhenger mellom sentral- og periferivinkler i en sirkel. PC-en gir mulighet for at elevene selv utforsker matematikken, nettopp en slik «inquiry» som prosjektet legger opp til.

Verksted om algebra

Tema videre i dette verkstedet er algebra og hvordan uttrykk og ligninger kan introduseres. Hva er algebra? Er det regning med bokstaver og å løse ligninger, eller er det generalisering av tall og å beskrive mønstre? Det ble presentert mønstre ved hjelp av pinner eller prikker for å se på hvordan tallmønstre eller matematiske uttrykk kan beskrive sammenhenger mellom lengde av mønsteret og antall pinner eller prikker det består av. Et eksempel er å se på en bjelke som er laget av like lange stokker med samme lengde og formet av likesidete trekanter. Kan vi finne et system i sammenhengen mellom lengden av bjelken (l) og antall stokker som brukes? På figur 1 er tre slike bjelker tegnet, med lengde 2, 3 og 4. Tallmønsteret i figuren kan bygges opp steg for steg: for lengde 2 trengs 7 stokker, for lengde 3 trengs 11 stokker, og for lengde 4 trengs 15 stokker. Er der mulig å finne en formel?

Uttrykkene 3l + (l-1), 4l – 1 eller l + 2l + (l -1) kan alle settes opp ut fra skissen av brua (figur 1) ved å dele opp mønsteret på forskjellige måter. Videre ble enkle ligninger introdusert med regneuttrykk der en addend mangler, som 3 + = 7 eller ved å se på hvilke tall som mangler i en talltrekant der tall i to naboruter horisontalt skal adderes (figur 2). Og en enkel løsning av ligning ble vist der en forenkler steg for steg. Eksemplene var valgt for å gi ideer til hvordan elevene kan stimuleres til å engasjere seg aktivt med utforsking og selv finne ut av sammenhenger.

Figur 2 Talltrekant. Summen av naboruter gir tallet under. Hva står i ruta mellom 6 og 7?

Metodikk – «inquiry»

Sentralt i verkstedet og ellers i prosjektet står to grunnleggende ideer: læringsfellesskap og «inquiry» – en spørrende, undersøkende og eksperimenterende måte å arbeide med matematikken på. Det engelske ordet «inquiry» har glidd inn som et viktig ord i prosjektet siden det fanger opp en bredde av viktige ideer i prosjektet. Vi forbinder det med å undre seg, stille spørsmål, undersøke, utforske, eksperimentere – i det hele tatt innebærer det en aktiv holdning til arbeidet med faget hos barn, elever og lærere, der det å bygge forståelse er viktigere enn å huske regler og prosedyrer. I stedet for å gi et ferdig svar, lar man barn få undersøke og finne fram sammenhenger selv, skape nye tanker og ideer som går ut over det som de kjenner fra før. Med en slik tilnærming blir det ikke rett fram å svare på spørsmål som: Hva gjør jeg nå? Er det gange eller dele her, lærere? Denne forståelsen av inquiry er uttrykt i inquiry-syklusen som er beskrevet i prosjektplanen for LBM (Se http://lbm.vaf.no).

I neste verksted ble algebra fulgt opp videre. Det er krevende for den som har presentasjonen i plenum med tanke på at de som samles, kommer fra alle nivå fra barnehage til videregående skole. Men det er også verdifullt for å bygge forståelse for hverandres arbeid og kunne følge opp ideer som det er arbeidet med på tidligere klassetrinn. Hva er algebraisk tenkning? En av didaktikerne reiste spørsmålet om det var nødvendig med symboler for å tenke algebraisk. Hun viste med et enkelt eksempel, summen av to oddetall som 5 + 11, hvordan samme problemstilling kan undersøkes både med talleksempler og med bruk av algebraiske uttrykk som uttrykker oddetall generelt, som (2n+1)+(2m+1). Å oppdage et mønster og beskrive det, uttrykke det mer presist med ord, med talleksempler og senere med matematiske symboler, det er ulike varianter av algebraisk tenkning. Mønstre kan også lages med konkrete materialer, og barna kan finne system og beskrive det. Enkle ligninger kan uttrykkes med konkreter, ved for eksempel å finne ut hvor mye som mangler i en boks for å få likhet. Dermed er algebraisk tenkning eller pre-algebra aktuelt på alle trinn, fra barnehage til videregående skole.

Etter en pause med litt forfriskninger, kjeks, frukt, juice og kaffe fortsetter verkstedet med gruppearbeid. Både pausen og gruppearbeidet gir god anledning til å utveksle erfaringer, og praten går livlig. Dagens oppgaver er forberedt gjennom flere møter der didaktikere har arbeidet med ideer, kanskje tatt utgangspunkt i kjente oppgaver, men forandret noe slik at de gir mer rom for undring, utforsking og eksperimentering. Noen punkter er hentet fra forskningsartikler om emnet som tas opp. Oppgavene er ment som en start for gruppearbeidet der lærere og didaktikere (universitetslærere ved UiA med ansvar for forskning i matematikkdidaktikk) både løser oppgaver og diskuterer hvordan de kan brukes for å utvikle undervisning preget av undring, utforsking og stimulere til spørsmål. 

Spranget fra barnehage til videregående skole er stort i faglige utfordringer, og det er derfor lagt opp til forskjellige oppgaver for grupper av lærere fra barnehage/småskole, småskole/mellomtrinn og ungdomsskole/videregående skole. Dette kom fram som et ønske fra lærerne og førskolelærerne tidlig i prosjektet. Didaktikerne hadde et ønske om å blande ulike nivå ut fra et ønske om at det kunne stimulere til samarbeid og forståelse, og ikke minst å vite litt mer om hva som kommer etter. Det var nødvendig å ta hensyn til ulike nivå, i noen tilfeller med egne opplegg for barnehage, men gjennom å møtes i plenum har det likevel blitt mulig å få utveksling av ideer på tvers og innsikt i hverandres arbeid. 

Læringsfellesskapet

Et annet viktig innslag i verkstedet er presentasjoner fra arbeidet i skoler og barnehager. Allerede fra første verksted var det innslag fra lærere som viste hvordan de arbeidet med undersøkende og utforskende matematikk. Dette verkstedet var utvidet, litt i tid, men også slik at lærere fra andre skoler og barnehager som ikke var med i prosjektet kunne delta. Det var derfor flere presentasjoner fra skoler om stasjonsundervisning, om arbeid med Pytagoras' setning og trigonometri, om lineære funksjoner og å lese av grafer knyttet til en Pisa-oppgave og om stasjonsundervisning på barnetrinnet der det var mye bruk av konkrete hjelpemidler. 

Verkstedene er et viktig element i å bygge læringsfellesskap mellom lærere, førskolelærere og didaktikere i de to prosjektene Lær bedre matematikk og Bedre matematikkundervisning. Derfor er det lagt vekt på at lærere og didaktikere arbeider sammen i gruppene, både med løsning av matematikkoppgaver og i diskusjoner om hvordan de kan brukes i undervisningen. De to prosjektene er tett integrert slik at didaktikere har et faglig ansvar for å legge opp verksteder og stimulere utviklingsarbeidet. Men det er lærernes ansvar å følge opp i klassene og velge om de vil bruke noe fra gruppearbeidet, noe de har utviklet videre eller noe de har funnet selv. Det er et mål i prosjektet at de flere ganger i løpet av året skal arbeide med opplegg preget av inquiry og engasjere elever og barn i dette. 

I noen tilfeller er det lærere som følger opp ideer fra verksteder ganske raskt etterpå. Dette skjedde etter et verksted der tema var å ta tak i gamle oppgaver og åpne dem opp for på gi rom for mer undring og utforsking. Noen dager etter verkstedet fikk jeg e-post fra en av lærerne. Han hadde tatt ideen videre, brukt en oppgave som var bearbeidet i gruppesamlingen og utviklet andre lignende oppgaver som han nå ville prøve ut i klassen. Typisk for disse oppgavene var at en del informasjoner var fjernet slik at elevene enten måtte anslå tall eller finne dem selv. Læreren inviterte både didaktikere og de andre lærerne fra gruppa til å være med for å observere. Jeg tok utfordringen og kom til timen. 

Det var interessant å se hvordan en oppgave som i utgangspunktet var lukket og hadde bare ett svar, kunne bli helt annerledes og gi interessante vurderinger av tallstørrelser og hvilke regneoperasjoner som trengtes. Elevene hadde anledning til å bruke datamaskin om de ønsket det, og flere skrev løsninger i Word eller søkte etter informasjoner på Internett. Undervisningstimene ble videofilmet, noen filer med elevarbeid ble samlet inn, og jeg gjorde egne notater med tanke på forskning og oppfølging. Slike videoopptak fra undervisningen kan også være et hjelpemiddel i utvikling av kompetanse. I noen tilfeller har didaktikere og lærere sett på opptak sammen for å studere det som skjedde og kunnet tenke gjennom situasjonene for å utvikle sitt eget arbeid og for å forstå bedre hvordan elevene reagerer og kommuniserer i arbeidet. 

Læringsfellesskapet gjelder også lokalt på den enkelte skole eller barnehage der de som er med i LBM-teamet lokalt forsøker å ha sine møter for å diskutere arbeidet, kanskje utvikle opplegg sammen eller gi hverandre innspill. Etter et verksted om resonnement og bevis hadde et team med seks lærere på en videregående skole møte der de tok tak i alle oppgavene fra verkstedet. Denne gangen var det slik at alle gruppene hadde forskjellige oppgaver, også de på samme nivå. De arbeidet seg gjennom oppgavene, løste dem og diskuterte hvordan de kunne passe i deres egen klasse. Senere ble noen av oppgavene brukt i noen klasser. 

Prosjektorganisering

I TBM-prosjektet har vi organisert oppfølging av skoler og barnehager slik at hver av dem har en eller to kontaktpersoner blant didaktikerne. Disse har spesielt ansvar for å holde kontakt og besøke skolene for å delta i utviklingsarbeid i lokale team og følge opp med filming eller lydopptak når det er aktiviteter relatert til prosjektet, undervisning eller teammøter. 

Lær bedre matematikk (LBM) eies av kommuner og fylke og UiA-prosjektet. Bedre matematikkundervisning (TBM, Teaching Better Mathematics), se http://prosjekt.hia.no/tbm/, er et av prosjektene i programmet Praksis FOU i Norges forskningsråd. Begge prosjektene har også støtte av Sørlandet kompetansefond. De to prosjektene samarbeider tett med vekt på utvikling av aktiviteter for læring i skoler og barnehager og å bygge kompetanse hos lærere og førskolelærere. UiA har hovedansvar for forskning, og har som kompetansemiljø faglig ansvar og bidrar til å stimulere utviklingsarbeidet. Prosjektleder og prosjektkoordinator fra UiA deltar i ledergruppa som styrer LBM, og prosjektledere for hver skole og barnehage samles 1 – 2 ganger per semester for å diskutere framdrift og ideer til verksteder. En sentral idé er at lærere og førskolelærere har ansvar for hva de vil følge opp i egne klasser og grupper. I TBM-prosjektet samarbeider UiA også i et konsortium med fire høgskoler som har sine egne delprosjekter med læringsfellesskap og inquiry som utgangspunkt. 

Forskning er en viktig del av aktivitetene. Derfor gjøres det lyd- eller videoopptak av alle møter og verksteder i prosjektet, og det samles en del andre data. Lærere oppfordres også til selv å ta opptak av sine møter og observere hverandres undervisning og eventuelt filme spesielle opplegg de har utviklet i prosjektet. Forskning og utvikling er tett integrert og kan beskrives som en syklus – planlegge, gjennomføre, observere og melde tilbake – som så kan lede til ny planlegging. Utviklingsarbeidet følges opp av forskningen som så gir impulser tilbake til videre utvikling. I denne artikkelen er det fokusert mest på utviklingsaktivitetene, men forskning er tett integrert. 

«I løpet av disse tre årene har ‘inquiry’ liksom kommet inn i ryggmargen, ikke slik at det alltid er der, men det ligger der og vi tenker over det, spesielt når nye emner introduseres.» Omtrent slik uttrykte en lærer seg i et intervju med ei gruppe lærere på skolen. Slike intervju er holdt på alle skolene og i barnehagene som er med. Ideen om inquiry – undersøkende og utforskende arbeidsmåter i undervisningen – kom sterkt fram i gruppene. Men det tar tid – og spesielt på en skole der noen lærere var med i et tidligere prosjekt, ble dette understreket. Det ble framhevet at de nå snakker mer med hverandre om faglige spørsmål i matematikk og om undervisningen. De deler ideer og undervisningsopplegg. Et viktig element i å få i gang dette var både å legge til rette rammefaktorer som mulig møtetid og tilgang til datalab, og at alle lærerne på samme trinn var med i prosjektet. En lærer uttrykte det så sterkt at «hele undervisningen her på skolen er blitt forandret i løpet av de siste årene, nå med mer fokus på undring og utforsking og at elevene skal forstå.»