Lærerstudenters oppfatning om 0,999…

– Om dette dilemmaet har de fleste lærerstudentene samme oppfatning som folk flest, sier førsteamanuensis Lars Reinholdtsen ved Institutt for grunnskole- og faglærerutdanning.

– En grunn kan være at de ser på dette uendelige desimaltallet som noe som ikke har en bestemt posisjon på tallinja, men ser det som noe som er i prosess mot tallet 1, slik at det aldri blir nøyaktig likt.

I matematikkdidaktikken jobber man både med begrepsdefinisjoner og begrepsbilder.

– Begrepsbildet er de erfaringene  og assosiasjonene man har med begrepet, sier Reinholdtsen. – Selv om man kjenner til den formelle definisjonen, baserer man seg ofte på begrepsbildet. Dette er nok langt vanligere enn hva matematikere ofte tror.

– En matematikklærer vil gjerne argumentere for at 0,999… er lik 1 ved hjelp av likninger. Disse likningene forutsetter imidlertid et formelt matematikksystem som ligger i større avstand fra den uformelle forståelsen enn det mange er klar over.

– Det går an å lage en matematikk der 0,999… er mindre enn 1. Da må vi imidlertid ha et system av tall som er mye mer komplisert enn de vanlige tallene på tallinja. Det nye systemet inneholder såkalte infinitesimaler, tall som er uendelig små men større enn null. Noen forskere mener at dette samsvarer bedre med folks uformelle forståelse.

0,333… og en tredel

Lærerstudentene ble presentert for et dilemma i deres første studieår. Dette tok utgangspunkt i en ungdomsskoleelev som mente matematikk var selvmotsigende. Elevens argument består av fire påstander. Det starter med at 1/3 = 0,333…, mens 1/3 + 1/3 + 1/3 = 1. Videre er 0,333… + 0,333… + 0,333… = 0,999…, men siden 0,999… er mindre enn 1, så har vi en selvmotsigelse.

– Lærerstudentene klarte ikke å løse dette dilemmaet. I to ulike klasser var det interessante forskjeller på hvor villige de var til å akseptere mitt forsøk på oppklaring av situasjonen, sier Reinholdtsen.

Han forteller at en vanlig ting å bruke her, er en likning der man setter X = 0,999… .Deretter ganger man begge sider med 10 og får 10x = 9,999…. Som tredje operasjon trekker man de to tallene fra hverandre og får da 9x = 9. Deler man så begge to med tallet ni, blir svaret x = 1.

– Denne likningen baserer seg på vanlige regler innen algebra, sier Reinholdtsen.  – Skal man operere med en matematikk der 0,999… ikke er lik en, så blir matematikken så komplisert at det hører til på et avansert matematikkurs på universitetsnivå.

Mens den ene lærerstudentklassen til slutt aksepterte at 0,999… = 1, forble den andre langt mer skeptisk.

– Grunnen var antagelig at den skeptiske klassen mente at de hadde funnet en løsning på dilemmaet fra eleven selv, nemlig at en tredel ikke kunne være nøyaktig lik 0,333…, bare en tilnærming, sier Reinholdtsen. – Denne klassen hadde ikke samme behov for min oppklaringer, fordi de hadde allerede sin egen forklaring.

Samtidig lot studentene seg til en viss grad overtale av at det ikke er så rart at samme tall kan skrives på flere måter, slik som likeverdige brøker og desimaltall.

– Skrivemåten for et tall er ikke det vesentligste for hvilket tall det egentlig er, sier Reinholdtsen. – Identifiserer man begrepsbildene i matematikk, kan dette ofte gjøre det lettere å tenke matematisk.

Ved på jobbe med problemstillingen innså Reinholdtsen at han hadde undervurdert kompleksiteten i de forestillingene studentene kan ha om uendelige desimaltall.