Kjennetegn på hva? Om «kjennetegn på måloppnåelse» i matematikk

En evaluering av prosjektet Bedre vurderingspraksis viser at lærerne har hatt problemer med å følge tankegangen som ligger bak Utdanningsdirektoratets formulering av kjennetegn på lav og høy måloppnåelse i matematikk. Problemet er at kjennetegnene omfatter mange kompetansemål av gangen og går på tvers av hovedområdene i læreplanen. Et nytt utkast til nasjonale kjennetegn på måloppnåelse i matematikk har tatt hensyn til disse innvendingene, men har samtidig økt kompleksiteten. Slik risikerer man at det som skulle være et nyttig verktøy for læreren, kan bli for vanskelig å bruke i praksis.

I perioden fra november 2007 til mai 2009 gjennomførte Utdanningsdirektoratet prosjektet Bedre vurderingspraksis som et ledd i Kunnskapsdepartementets satsing på en mer rettferdig, faglig relevant og læringsfremmende elevvurdering. De 77 skolene som deltok i prosjektet, skulle enten selv utvikle og prøve ut nasjonale kjennetegn på måloppnåelse i utvalgte fag, eller de skulle prøve ut ferdigstilte kjennetegn utviklet av faggrupper i regi av Utdanningsdirektoratet. Bakgrunnen for prosjektet var blant annet innføringen av Læreplanverket for Kunnskapsløftet. Med LK06 har vi fått en målrelatert læreplan med kompetansemål som beskriver hva elevene skal mestre etter endt opplæring på ulike årstrinn, og kompetansemålene skal være utgangspunkt for den faglige vurderingen av elevene. En målstyrt læreplan med mestringsbeskrivelser gjennom hele skoleløpet representerer noe nytt i norsk skole.

Enhet for kvantitative utdanningsanalyser (EKVA) ved Institutt for lærerutdanning og skoleutvikling, Universitetet i Oslo, fikk i oppdrag å evaluere prosjektet. I forbindelse med evalueringen ble det gjennomført både intervju og spørreundersøkelser. I tillegg analyserte vi kjennetegnene som var utviklet av henholdsvis Utdanningsdirektoratet og deltakerskolene.

Tabell 1: Hovedområder i matematikk på ulike årstrinn.

Årstrinn

Hovedområde

1.-4. Tall Geometri Måling Statistikk  
5.-7. Tall og algebra Geometri Måling Statistikk og sannsynlighet  
8.-10. Tall og algebra Geometri Måling Statistikk, sannsynlighet og kombinatorikk Funksjoner
Vg1T Tall og algebra Geometri   Sannsynlighet Funksjoner
Vg1P Tall og algebra Geometri Økonomi Sannsynliget Funksjoner
Vg2T Geometri Kombinatorikk og sannsynlighet Kultur og modellering    
Vg2P Tall og algebra i praksis Statistikk Modellering    

En omfattende rapport til Utdanningsdirektoratet (Throndsen mfl. 2009) går grundig inn på ulike funn og anbefalinger om videre bruk av slike «kjennetegn». I denne artikkelen tar vi for oss noen perspektiver for disse kjennetegnene ved spesielt å studere situasjonen i matematikk.

Kjennetegn på måloppnåelse

I forbindelse med prosjektet hadde Utdanningsdirektoratet utarbeidet et veiledningshefte som skulle være en støtte for lærerne i arbeidet med kjennetegnene (Utdanningsdirektoratet 2007). I veiledningsheftet defineres kjennetegn på måloppnåelse som:

  • beskrivelser av kvaliteten på det elevene mestrer i forhold til kompetansemålene
  • beskrivelser som knytter seg til flere kompetansemål av gangen
  • beskrivelser som kan skape tolkningsfellesskap
  • beskrivelser som kan være utgangspunkt for lokalt arbeid med vurdering

Videre presiseres det at nasjonale kjennetegn ikke er ment å skulle brukes direkte inn mot vurdering av elevenes arbeid, men de skal gi felles referanser på landsbasis for hva som kjennetegner ulik måloppnåelse i fag. I samme veiledningshefte finnes i tillegg Utdanningsdirektoratets ferdigstilte kjennetegn i fagene norsk, matematikk, samfunnsfag og mat og helse, som barnetrinnsskoler skulle prøve ut på 2., 4. og 7. årstrinn. Mens skoler på barnetrinnet skulle utvikle og/eller prøve ut kjennetegn på høy og lav måloppnåelse, skulle ungdomsskoler og videregående skoler utvikle kjennetegn for henholdsvis karakterene 6/5, 4/3 og 2.

Utdanningsdirektoratets kjennetegn i matematikk

Analyser av Utdanningsdirektoratets ferdigstilte kjennetegn viser at kjennetegnene i de ulike fagene som inngår i prosjektet, er strukturert svært forskjellig sammenlignet med fagenes oppbygging i læreplanen. Matematikk er et gjennomgående fag på alle trinn i grunnskolen og vg1 og vg2 i videregående skole. I læreplanen er matematikkfaget strukturert i hovedområder som er noe forskjellig på de ulike årstrinnene. Tabell 1 over viser hovedområdene. Det er formulert konkrete kompetansemål innen hvert hovedområde. Ser en nærmere på Utdanningsdirektoratets ferdigstilte kjennetegn i matematikk, som er utviklet for 2., 4. og 7. trinn (Utdanningsdirektoratet 2007, s. 20-25), viser det seg at de er strukturert etter følgende tre kategorier:

  • Begreper og ferdigheter
  • Problemløsing
  • Kommunikasjon

Ingen av disse tre kategoriene framstår som hovedområder i læreplanen, noe som innebærer at i matematikk bygger ikke struktureringen av kjennetegn på læreplanen selv. I tillegg til at kjennetegnene omfatter flere kompetansemål av gangen, går de dessuten på tvers av hovedområdene i fagplanen. I det følgende skal vi gå litt nærmere inn på to av disse kategoriene. Kjennetegnene for Begreper og ferdigheter er på hvert av trinnene gitt for tre områder, som vi her kan kalle begrepsforståelse, tallforståelse og metodemestring. Noen av de samme formuleringene forekommer på ulike trinn, og det ligger her en tydelig progresjon, ikke bare mellom lav og høy måloppnåelse, men også fra 2., via 4. til 7. trinn. Et eksempel (begrepsforståelse) viser dette (se tabell 2):

Et åpenbart dilemma her er at disse formuleringene i prinsippet ikke relaterer seg spesifikt til matematikkfaget, men kan anvendes like godt i alle fag. Dette kunne altså vært brukt som en felles tilnærming på tvers av fag. Vi ser videre at kjennetegn for grad av måloppnåelse er knyttet til en taksonomi gjennom ordene «gjenkjenne», «sammenlikne»,  «beskrive»,  «gjengi»,  «analysere» og «utnytte sammenhenger». På den annen side er det i praksis slik at hvor krevende slike mål er, selvsagt i stor grad avhenger av hvilke begreper det faktisk dreier seg om. Følgelig gir ikke slike kjennetegn noen enkel anvisning på hvor elevene befinner seg, og de fortoner seg for oss som svært vanskelige å bruke i praksis. Går vi til kompetansemålene i læreplanen, er det mange aktuelle «sentrale» og andre begreper som nevnes. For 4. trinn kan vi for eksempel peke på noen få, og disse viser tydelig nok at utfordringene til «høy måloppnåelse» i aller høyeste grad varierer fra begrep til begrep:

  • kjenne att og beskrive trekk ved sirklar, mangekantar, kuler, sylindrar og enkle polyeder
  • gjere overslag over og måle lengd, areal, volum, masse, temperatur, tid og vinklar
  • beskrive plassverdisystemet for dei heile tala, bruke positive og negative heile tal, enkle brøkar og desimaltal i praktiske samanhengar, og uttrykkje talstorleikar på varierte måtar
Tabell 2: Et eksempel på kjennetegn på måloppnåelse innenfor «Begreper og ferdigheter». 
 

2. trinn

4. trinn

7. trinn

Lav måloppnåelse Gjennkjenne noen trekk ved sentrale begreper  Gjenkjenne og beskrive trekk ved noen begreper Gjengi egenskaper ved noen begreper
Høy måloppnåelse Beskrive og sammenlikne trekk ved sentrale begreper Beskrive trekk ved sentrale begreper og utnytte sammenhenger mellom begreper Gjengi og analysere egenskaper ved sentrale begreper og utnytte sammenhenger mellom begreper.

Et annet eksempel er hentet fra kategorien Kommunikasjon (se tabell 3 neste side). Her ser vi det samme, nemlig at graden av utfordringen ikke kommuniseres, da den i praksis avhenger sterkt av hvilke løsningsmetoder det faktisk dreier seg om.

Vi ser altså at de ferdigstilte kjennetegnene i matematikk skiller seg sterkt fra fagets oppbygning og struktur i læreplanen. Det er ikke mulig å finne igjen strukturen fra hovedområdene eller kompetansemålene. Etter vår mening er det et spørsmål om ikke kjennetegnene formulert på denne måten fjerner seg så mye fra de faglige kompetansemålene at tilbakemeldingen til elevene vanskelig kan bli tilstrekkelig faglig relevant.

Lærernes oppfatning av de ferdigstilte kjennetegnene

Både intervju og spørreundersøkelse avdekket at også lærerne hadde problemer med å følge tankegangen som ligger bak Utdanningsdirektoratets formulering av kjennetegn i matematikk. Formålet med å prøve ut kjennetegn på måloppnåelse på ulike nivå var å vurdere om dette kunne være et nyttig verktøy for lærerne i vurderingsarbeidet og i kommunikasjonen med elevene om vurdering.

I forbindelse med spørreundersøkelsen ble derfor lærerne bedt om å angi hvor enige eller uenige de var i ulike utsagn som dreide seg om forholdet mellom kjennetegn, og kompetansemålene i læreplanen. Her skulle lærerne som prøvde ut Utdanningsdirektoratets kjennetegn, foreta sin vurdering i forhold til disse, mens lærere ved skoler som utviklet egne kjennetegn, skulle forholde seg til «sine» kjennetegn.

Tabell 3: Et eksempel på kjennetegn på måloppnåelse innenfor "Kommunikasjon"
 

2. trinn

4. trinn

7. trinn

Lav måloppnåelse Fortelle om egne løsninger og løsningsmetoter med veiledning Forklare egne løsninger og løsningsmetoder med veiledning Beskrive egne og andres resonnement knyttet til enkle problemstillinger med veiledning
Høy måloppnåelse Fortelle om egne og andres løsninger og løsningsmetoder Forklare egne og andres løsninger og løsningsmetoder Gjøre rede for egne resonnement og forklare andres

 Analysene viste at i matematikk var prosentandelen av lærere som var «svært enig» «enig» i utsagnene betydelig lavere hos dem som prøvde ut de ferdigstilte kjennetegnene (rundt 30 prosentpoeng). Lavest tilslutning hos lærerne som prøvde ut Utdanningsdirektoratets kjennetegn, fikk utsagnene «Kjennetegnene bidrar til å klargjøre kompetansemålene i fagene for meg som lærer» og «Kjennetegnene bidrar til å klargjøre kompetansemålene i fagene for elevene».

Etter vår mening beskriver nettopp disse utsagnene et viktig aspekt ved selve prosjektet. Når matematikklærerne ikke kan gi sin tilslutning til dette, kan dette tolkes som at et viktig formål med kjennetegnene ikke er oppfylt. Hvis vi sammenlikner med hvordan lærere vurderer de samme utsagnene i forhold til de ferdigstilte kjennetegnene i norsk, viser det seg at andelen lærere som var «svært enig/ «enig» i disse utsagnene, var betydelig høyere. Så er det da også en klar sammenheng mellom oppbyggingen av kjennetegnene i norsk og slik faget er strukturert i læreplanen. Denne forskjellen mellom matematikk og norsk ble også bekreftet i intervjuene med lærerne.   

Analyse av skolenes kjennetegn

Vi gjennomførte også en analyse av kjennetegnene i matematikk som ble utarbeidet og sendt inn fra omtrent 60 prosjektskoler, de fleste fra barnetrinnet, men også ungdomstrinnet og videregående skole var representert. For skoler som skulle prøve ut Utdanningsdirektoratets kjennetegn, var det særlig interessant å se hvordan den spesielle strukturen i de ferdigstilte kjennetegnene var fulgt opp. Av 12 skoler var det bare to som egentlig hadde videreutviklet en versjon med kjennetegn på tvers av hovedområder, men begge disse skolene har sett behovet for en presisering. En av skolene skriver: Vi mente imidlertid at kjennetegnene slik de fremstår i heftet, ble for generelle, og vi måtte «bryte disse ned» til egne kjennetegn som passer inn i den daglige undervisningen. Samtidig så vi at noen av kjennetegnene setter krav til måten vi underviser på, slik at vi i større grad enn før måtte være bevisste på hva slags oppgaver/utfordringer vi gir barna slik at de faktisk er i stand til å oppnå høy måloppnåelse.

Det er flere interessante poenger ved denne uttalelsen, og to ting nevnes spesielt her. For det første pekes det på at kjennetegnene er for generelle. Og for det andre impliserer den siste setningen at de ferdigstilte kjennetegnene for denne skolen de facto har fungert som målformuleringer ut over læreplanen selv, og det er ikke i tråd med forutsetningene. Etter vår mening må det være slik at alle kjennetegn på måloppnåelse må forankres trygt i kompetansemålene. Av de 15 barneskolene som skulle utvikle egne kjennetegn i matematikk, var det bare fire som hadde fulgt opp de ferdigstilte kjennetegnene ved å formulere kjennetegn på tvers av hovedområdene. Disse fire hadde enten utviklet noe over samme lest eller gjennomført en enkel revisjon. Når det gjelder ungdomstrinn og videregående skole, var det bare én skole (av 26) som hadde laget en versjon med kjennetegn på tvers av hovedområder.

Tabell 4: Kjennetegn for «lav» og «høy» måloppnåelse for emnet «Tall» på 4. trinn
 

Lav måloppnåelse

Høy måloppnåelse

Ferdigheter, begreper Plasserer hele tall på en tallinje, og bestemmer sifferverdien. Finner strukturer i enkle tallmønster. Gjør overslag og gjennomfører regneoperasjoner for hele tall. Beskriver sammenhenger i plassverdisystemet og tallmønster, og utnytter dette i alle de fire regneartene. Gjør overslag og gjennomfører regneoperasjoner med sikkerhet i metodevalg og utøvelse.
Anvendelse og problemløsing Velger riktig regneoperasjon og finner strategier som innebærer hoderegning og/eller skriftlig regning i enkle teoretiske og praktiske problem. Utfører enkle praktiske oppgaver med negative tall, brøker og desimaltall. Bruker hjelpemidler. Eksperimenterer, vurderer, velger og argumenterer for ulike framgangsmåter for sammensatte beregninger og problemløsning i teoretiske og praktiske problem. Vurderer behov  og nytte av å bruke hjelpemidler.
Kommunikasjon Følger og formidler enkle instruksjoner og forklaringer. Beskriver egen framgangsmåte digitalt, skriftlig og/eller muntlig ved å bruke uformelle uttrykksformer, matematiske begrep og symboler på en forståelig måte.

Følger og formidler egne og andres instruksjoner, forklaringer og framgangsmåter, både digitalt, skriftlig og/eller muntlig. Bruker og veksler mellom matematiske symboler og andre representasjoner på en korrekt og presis måte. Viser mottakerbevissthet i enkelte situasjoner.

De fleste skolene, uavhengig av om de skulle prøve ut de ferdigstilte kjennetegnene eller utvikle sine egne, hadde utviklet kjennetegn for hvert hovedområde i fagplanen, og mange av dem hadde utviklet spesifikke kjennetegn for hvert kompetansemål, eller til og med for deler av disse. Vi konstaterer altså at de fleste lærerne så det som mest relevant og nyttig at kjennetegnene stort sett følger opp eller presiserer de faglige kompetansemålene. I så måte følger de da ikke opp tenkningen som ligger bak de ferdigstilte kjennetegnene i matematikk.

Utkast til nasjonale kjennetegn

I vår rapport (Throndsen mfl. 2009) har vi kommet med en rekke konklusjoner og anbefalinger. Når det gjelder matematikkfaget, har vi påvist at det oppstår problemer når kjennetegn på måloppnåelse i tillegg til å omfatte mange kompetansemål av gangen også går på tvers av hovedområdene i læreplanen. Det fører til at kjennetegnene i stedet for å understøtte og være med på å definere fagets struktur og egenart, lager en ny struktur i faget. I matematikk er dette gjort ved å introdusere noen kognitive kategorier på tvers av hovedemnene («Begreper og ferdigheter», «Problemløsning» og «Kommunikasjon»). Et annet problem er at disse kategoriene like gjerne kan brukes i andre fag og derfor framstår som løst knyttet til matematikkfaget, slik dette er formulert i læreplanen. I vår evalueringsrapport til Utdanningsdirektoratet fraråder vi derfor at det utvikles kjennetegn på måloppnåelse i fag på en slik måte at det implisitt lages en ny struktur i faget.

Etter dette har Utdanningsdirektoratet kommet med et nytt «Utkast til nasjonale kjennetegn på måloppnåelse i matematikk» (Utdanningsdirektoratet 2009). Her er en av våre innvendinger tatt hensyn til, idet kjennetegnene ikke lenger er strukturert på tvers av kompetansemålene. Men dette har ført til et svært komplisert oppsett for hvert av hovedmomentene, noe som vi frykter vil gjøre dette vanskelig tilgjengelig i praksis. I det følgende vises et eksempel på hvordan dette er foreslått for hovedemnet «Tall» på 4. trinn. I læreplanen er målet for dette hovedemnet beskrevet slik:

 Mål for opplæringa er at eleven skal kunne:

  • beskrive plassverdisystemet for dei heile tala, bruke positive og negative heile tal, enkle brøkar og desimaltal i praktiske samanhengar, og uttrykkje talstorleikar på varierte måtar
  • gjere overslag over og finne tal ved hjelp av hovudrekning, teljemateriell og skriftlege notat, gjennomføre overslagsrekning med enkle tal og vurdere svar
  • utvikle og bruke ulike reknemetodar for addisjon og subtraksjon av fleirsifra tal både i hovudet og på papiret
  • bruke den vesle multiplikasjonstabellen og gjennomføre multiplikasjon og divisjon i praktiske situasjonar
  • velje rekneart og grunngje valet, bruke tabellkunnskapar om rekneartane og utnytte enkle samanhengar mellom rekneartane
  • eksperimentere med, kjenne att, beskrive og vidareføre strukturar i enkle talmønster

Tabell 4 gjengir forslagene til kjennetegn på «lav» og «høy» måloppnåelse for dette emnet. Vi anerkjenner til fulle det arbeidet som er nedlagt for å knytte kjennetegnene til de enkelte hovedemnene og få disse beskrivelsene til å henge sammen på en måte som ikke går på tvers av strukturen i læreplanen. Men fortsatt er det innført en tredelt kognitiv kompetansestruktur som ikke står i læreplanen (Ferdigheter, Anvendelse, Kommunikasjon).  Dette  innebærer  at  kjennetegnene nå er strukturert i to dimensjoner, delt inn både etter hovedemne og langs en kognitiv dimensjon. Teoretisk sett gir dette god mening, men vi frykter at det blir altfor komplisert i praksis, når vi tenker på at tabell 4 gjelder bare ett av i alt fire hovedemner i faget (se tabell 1).

Tilsvarende beskrivelser er også gitt for de andre tre hovedområdene i fagplanen. Dessuten er det ikke lett å skille beskrivelsene i tabellen fra hverandre,  verken  «horisontalt»  eller  «vertikalt».

På tross av at mye arbeid er nedlagt i å utvikle et sett av meningsfulle kriterier for en bedre og mer enhetlig vurderingspraksis, frykter vi at slike «kjennetegn på måloppnåelse» som er beskrevet her, er for kompliserte til å bli et nyttig verktøy for lærerne i vurderingsarbeidet. I denne forbindelse vil vi også advare mot en omfattende formalisering av elevvurderingen (jf. debatten om «tidstyvene» i skolen). Er det noe norsk skole ikke trenger nå, så er det arbeidskrevende og rigide prosedyrer for formelle begrunnelser i den løpende vurderingen av elever.

Forfatterbilde

Inger Throndsen

Inger Throndsen er forsker ved Institutt for lærerutdanning og skoleforskning (ILS) ved Universitetet i Oslo. Hun ledet evalueringen av Utdanningsdirektoratets prosjekt «Bedre vurderingspraksis» og har vært involvert i utviklingen av nasjonale kartleggingsprøver i regning for småskoletrinnet. Hun var nasjonal prosjektleder for ICILS-undersøkelsen, som er en internasjonal studie av elevers digitale ferdigheter. Hun har doktorgrad om selvregulert læring og har mange års erfaring fra barnetrinnet, både som lærer, pedagogisk veileder og skoleleder.

Forfatterbilde

Svein Lie

Svein Lie har undervist 20 år i videregående skole.
Nå er han professor i realfagdidaktikk ved ILS,
Universitetet i Oslo, og har vært med på evalueringen av Utdanningsdirektoratets prosjekt «Bedre
vurderingspraksis». Han har tidligere arbeidet
mye med vurdering og måling av kunnskap, både i
forbindelse med eksamen og nasjonale prøver og
med internasjonale studier som PISA og TIMSS.

Litteraturhenvisninger

Læreplanverket for Kunnskapsløftet (2006). Oslo: Utdanningsdirektoratet. Hentet fra <http://www.udir.no/kl06/ENG1-03/Hele/?lplang=eng>.

Throndsen, I., Hopfenbeck, T.N., Lie, S. & Dale, E.L. (2009). Bedre vurdering for læring. Rapport fra «Evaluering av modeller for kjennetegn på måloppnåelse i fag». EKVA/ Institutt for lærerutdanning og skoleutvikling, Universitetet i Oslo.

Utdanningsdirektoratet (2009). Bedre vurderingspraksis, sluttrapport fra Utdanningsdirektoratet, 2009. http://www.udir.no/Rapporter/Bedre-vurderingspraksis-sluttrapport-fra-Utdanningsdirektoratet-2009/ (utgått lenke)

Utdanningsdirektoratet (2007). Vurdering – Et felles løft for bedre vurderingspraksis – en veiledning.

Foreslåtte artikler